二人若不同心，豈能同行呢？
獅子若非抓食，豈能在林中咆哮呢？
── 〈阿摩司書〉3章3節
「這很簡單啊，親愛的華生先生。」
福爾摩斯說完這句話之後，就以他著名的不簡單推理讓忠實助手聽得暈頭轉向。但福爾摩斯真正厲害的，不是由假設演繹出結論，而是歸納。歸納的運作方向和演繹相反，是從證據產生假設。
福爾摩斯另一段名言透露了他的歸納方式：「排除所有不可能之後，剩下的即使再不可能，也一定是真相。」福爾摩斯先歸納出幾種假設，再一一排除，（以排除法）演繹出正確的假設。歸納和演繹雖然是一體的兩面，但歸納一向比較神祕。由於這個緣故，福爾摩斯這些偵探才有工作可做。
然而近年來，在由證據產生假設、以及由結果得知原因的過程自動化領域，人工智慧專家已經有了大幅進展。很幸運地，我在這些進展的早期階段也盡了一份心力，開發出貝氏網路（Bayesian network）這種基本工具。本章將說明貝氏網路是什麼，介紹貝氏網路目前的幾種用途，同時討論貝氏網路引領我研究因果的曲折歷程。
電腦偵探波拿巴（Bonaparte）
2014年7月17日，馬航十七號班機由阿姆斯特丹史基普機場（Schiphol Airport）起飛前往吉隆坡，但這班飛機永遠到不了目的地。飛行三小時後，它和飛過烏克蘭上空的噴射機一樣，遭到俄製地對空飛彈擊落。機上共有兩百八十三名乘客和十五名組員，兩百九十八人全部罹難。
7月23日，首批遺體運抵荷蘭，荷蘭宣布當天是國殤日。但對於在荷蘭海牙法醫研究所（NFI）的調查人員而言，7月23日則是分秒必爭的起點。他們的工作是盡快辨識出遺體身分，以便交還親屬安葬。時間至關緊要，因為一天不確定遺體身分，親屬的悲痛就加深一層。
調查人員面臨許多困難。遺體燒傷嚴重，許多以福馬林保存，但福馬林會破壞DNA。此外，烏克蘭東部是戰區，法醫專家無法隨意到達墜機地點。新搜尋到的遺體陸續送達，時間長達十個月。最後，調查人員沒有罹難者的DNA紀錄，理由很簡單，因為罹難者不是罪犯。調查人員只能依靠部分相符來判定親屬關係。
幸運的是，NFI科學家擁有強大的工具奧援，這是一套最先進的罹難者辨識軟體，稱為波拿巴（Bonaparte）。這套軟體由位於奈梅亨（Nijmegen）的拉德伯德大學研究團隊於2000年代中期開發，運用貝氏網路綜合取自數名罹難者家屬的DNA資料。
在波拿巴這套軟體協助下，NFI於2014年12月前找到兩百九十八名罹難者中兩百九十四人的遺體。到2016年，這次空難中僅有兩名罹難者下落不明（而且都是荷蘭人）。
波拿巴軟體使用的機器推理工具是貝氏網路。貝氏網路在日常生活中影響我們的層面相當多，但大多數人沒有察覺。使用貝氏網路的地方包括語音辨識軟體、垃圾郵件過濾程式、氣象預報、探勘油井，以及美國食品藥物署批准醫療器材的過程等。在微軟Xbox上玩遊戲時，負責評定玩家分數的也是貝氏網路。如果你有手機，手機代碼必須以置信度傳播（belief propagation）解碼，以便從幾千個通話中分辨屬於這個門號的通話，而這種演算法則是為貝氏網路設計。另一家赫赫有名的公司谷歌，它的網路推廣長文特．瑟夫（Vint Cerf）曾經說：「我們是貝氏方法的超級使用者。」
在這一章中，我會細說貝氏網路的來龍去脈，從十八世紀的起源談到1980年代的發展，此外還會介紹目前貝氏網路的幾個應用範例。貝氏網路與因果圖間的關係很簡單：因果圖就是貝氏網路，圖中的箭頭代表直接或可能存在的因果關係，以箭頭方向為準。貝氏網路不一定有因果性，但這在許多用途中不重要。然而，如果打算提出關於貝氏網路的第二層或第三層查詢，就必須非常注意因果性並繪製因果圖。
貝斯牧師與逆機率問題
1985年我用湯瑪斯．貝斯（Thomas Bayes）為這種網路命名，貝斯牧師應該從來沒想過，他在1750年代提出的方程式，日後會被用來判別罹難者身分。當時他研究的是兩個事件的機率，其中一個事件（假設）發生在另一個事件（證據）之前。儘管如此，因果在他心裡仍然非常重要。事實上，讓他著手分析逆機率（inverse probability）的主要因素，就是因果。
貝斯是長老會牧師，生於1702年，卒於1761年，似乎是數學高手。他是英國人，但不信奉英國國教，所以無法進入牛津或劍橋等著名大學，而是在蘇格蘭大學接受教育，可能在那裡學了不少數學。後來他持續浸淫在數學中，返回英格蘭後還組成數學讀書會。
在一篇他去世後才發表的文章中，貝斯探討了最適合他來研究的問題 ── 比較數學和神學。先說明一下來龍去脈。1748年，蘇格蘭哲學家休謨撰寫論文《論奇蹟》（On Miracles），主張目擊者證詞無法證明奇蹟確實發生。儘管休謨聰明地沒有明講，但他說的奇蹟當然是指耶穌復活。（在此二十年前，神學家湯瑪斯．伍爾斯頓〔Thomas Woolston〕曾因為撰寫類似文章而遭控褻瀆入獄。）休謨的主要論點是：本質上不可靠的證據，無法否定「人死不能復生」這類擁有自然定律後盾的命題。
對貝斯而言，這個主張帶出一個既自然、又很福爾摩斯的問題：需要多少證據才能讓我們相信，某件我們認為不大可能的事真的發生過？一個假設何時會從不可能變成不大可能、甚至變成可能或幾乎一定會發生？這個問題雖然以機率語言表達，但刻意融入了神學意義。貝斯去世後，同教會牧師理查．普萊斯（Richard Price）在貝斯的遺物中發現這篇論文，將它連同他自己撰寫的導讀一起寄出發表，更清楚地說明了這一點：
我的目的是證明：我們有什麼理由相信萬物之中有固定法則，而萬事都是依這些法則發生？我們何以相信世界必然是某個智性之因的智慧與權能所導致的結果，從而肯定從最終因導出的推論足以證明上帝的存在？這篇論文解決的逆問題，能更直接適用於上述目的，這點很容易理解。因為它明確告訴我們，在任何具備特定順序或週期的事件中，我們用什麼理由認為這種週期或秩序，是源於自然界中穩定的原因或規則，而非源自機率的任何不規則性。
貝斯自己從來沒有在論文中探討過這點，普萊斯特別強調這些神學含意，或許是為了擴大貝斯這篇論文的影響力。但普萊斯特其實不需要這麼做。兩百五十年後，依然有人記得和討論貝斯的論文，原因不僅在於它的神學意義，還因為這篇論文證明我們可由結果演繹出某個原因的機率。如果知道原因，要估算出結果的機率相當容易，這是正向機率。但要反過來演繹（在貝斯的時代稱為「逆機率」問題），則困難得多。貝斯沒有解釋為什麼如此，而是把它視為不證自明，證明這是可行的，並且示範該怎麼做。
為了正確理解這個問題的本質，我們先來看看貝斯在1763年去世後出版的論文中舉的例子。假設我們在撞球桌上打出一顆球，讓它反彈多次，因此無法確定最後球會停在哪裡，則這顆球停在距離球桌左端小於x英尺處的機率是多少？如果知道球桌長度和球桌完全平坦光滑，這個問題相當容易解答（參見〈圖3.2〉上）。舉例來說，在12英尺長的斯諾克球桌上，這顆撞球停在距離球桌左端小於1英尺處的機率是1/12。而在8英尺長的花式撞球桌上，機率是1/8。
依據我們對物理學的理解，通常如果球桌長度是L英尺，則撞球停在距離左端小於x英尺處的機率為x/L。球桌長度（L）越長，撞球可能停留的範圍越大，所以機率越低。另一方面，如果x越大，符合的停留範圍也越大，所以機率越高。
現在來看看逆機率問題。我們已知撞球停留位置為距離左端x＝1英尺，但不知道球桌長度L（參見〈圖3.2〉下）。貝斯牧師問，球桌長度為100英尺（假設）的機率為何？依據常識，L為50英尺的機率比100英尺高，原因是球桌長度越長，撞球越不容易距離左端那麼近，但機率究竟高出多少？「直覺」或「常識」都無法提供明確的指引。
正向機率（已知L時計算x的機率）為何在心理上，遠比已知x時計算L的機率容易得多？在這個範例中，差別來自L是原因，x是結果。如果已經知道原因（例如巴比把球丟向窗戶），大多數人都預料得到結果（窗戶應該會被球打破）。人類的認知是朝這個方向推演。但如果已經知道結果（窗戶被打破），則我們會需要更多資訊才能演繹出原因（是哪個小孩丟球打破窗戶，或窗戶是被球打破等）。我們必須擁有福爾摩斯的頭腦，才能推斷出所有可能原因。貝斯著手破除這個認知差異，解說一般人應該如何估算逆機率。
