1.1 從一道試題開始
令
，請在直角坐標系中作出函數y＝f（x）的圖形。怎麼樣，是不是很眼熟？此類題目在各種「某某題庫」或者「某某金牌練習冊」中經常出現，但凡在高中數學課上經歷過一年艱苦奮鬥的同學大多能明白這道題雖然是讓你作圖，但考查的其實是如何利用三角恆等式化簡f（x）。
假如你還沒有念到高中，又或者你實在想不起來自己在念高中的時候還學過這些玩意，那也沒關係，你可以像小謙老師經常做的那樣：假定下面的講解都是對的並且愉快地接受這個事實（數學老師也不容易啊……）。
好，讓我們來看一看這道題目的解法。
如果你對
不太感興趣的話，不妨採用常見的變數替換法，令t＝
，這樣
。注意到我們有三角恆等式
和
，前者來自著名的畢式定理，後者是和角公式的特例：
代入到函數g（t）中即有
於是
因此，為了得到函數y＝f（x）的圖形，你只需要在直角坐標系中將正弦函數sinx的圖形向左平移
個單位，然後把位於x軸下方的部分按照與x軸對稱的方式往上一翻就一切OK，萬事大吉了！如果你還能把圖形與y軸的交點
的值給算出來，那就會更加完美。怎麼樣，是不是很簡單？（此處有掌聲）可是讀到這裡，你的心情難免會有點鬱悶：爆米花都買了，你就讓我看這個？
先別著急，這次讓我們轉換一下身分，現在的你是一位掌握生殺大權的判官（老師），而我將從萬千學子中挑選出三位同學對上面的題目給出他們的解答，假設這道題目的分值是10分，請你在30秒的時間內分別對他們的解答打出一個分數。記住，你花費在每份答案上的時間只有10秒哦！
準備好了嗎？開始！
有請第一位同學（見圖1-1）。
呃……這位同學你怎麼了？不會也不用上吊啊，快下來，快下來！大概是做不出來壓力太大，這位同學還沒等到你出手就已經「自掛東南枝」，英勇就義了。其實大可不必如此，工作生活中誰還沒個煩躁鬱悶的時候呢，洗把臉後又是一條好漢嘛！當然，這位同學也還是有貢獻的，至少你不用花掉10秒鐘就能在他的得分欄內畫上一個工整的「0」。
好了，先把他拖出去，有請第二位同學（見圖1-2）。
這位同學比起剛才那位就可靠多了，不僅概念準確，三角恆等式也背得很熟。但可惜他的解答犯了方向性的錯誤，一堆運算沒起什麼作用卻把式子越化越繁，最後自創的「圖形開方法」更是匪夷所思、聞所未聞。給個3分吧，2分辛苦，1分同情。
只剩下最後一位同學了，希望他不要辜負我們的期望（見圖1-3）。
真乃孺子可教啊，這回你總算舒心地笑了。這就是大家眼中的優等生了吧，邏輯清楚，思維縝密，不僅圖畫得好看，最後
的值也是求得規矩漂亮。啥也不說了，小手一抖，滿分拿走。
任務至此，圓滿完成！請不要怪我拿10秒鐘的限制當了一個噱頭，因為如果這是一道大學入學考考題的話，閱卷老師在你身上花的時間恐怕比10秒鐘也多不了多少。當然，我也不是想用這個例子來教大家如何快速標準地解答一道數學題，而是想讓你們在過完一把判官癮之後，認真地思考一下。
數學是什麼？
如果平時不太注意對深層次問題的思考，這麼一問或許會讓你有種手足無措的感覺，學習了那麼久的數學，見識過那麼多的數學定義和推理，大多數人恐怕還沒想過要替數學本身下個定義。
數學是研究數量關係的學問嗎？
顯然沒那麼簡單，數學課本裡不僅包含了眾多數量關係的計算，還包含了大量結構關係的證明。
數學是確定數量關係、幾何大小和空間形式的方法？
好像也不全面，按照這種說法，許多領域裡的數學家都將被無情地排除在外（比方說抽象代數和數理邏輯），他們對此肯定不會滿意。
要不來個狠的：數學是確定一切數量、關係、結構、空間和資訊的科學！
聽上去簡直完美！但一大票從事機率論研究的學者又會跳出來告訴你，其實研究「骰子擲出來是幾點」這樣的不確定性也是數學的一部分……
那就真的沒轍了，隨著知識的增加你會慢慢發現，但凡要替數學劃定一個邊界，邊界以外的版圖又總會出現數學的身影。數學在藝術、音樂、建築、歷史、科學、文學等各個方面都擁有著極大的影響力，總不能說數學是研究世間萬物一切有的沒的、變的不變的、確定的和不確定的科學吧。
你到底是數學家還是上帝？
看來要想從研究的內容、方式和方法上定義數學並不是一件簡單的事情，無法觸碰到數學的本質就不能更加深刻地理解數學的含義。不過你也無須為此煩惱，歷史上許多著名的學者已經替我們想過這個問題了，雖然他們吵了很多年也沒有吵出一個標準答案，但不妨讓我們見識一下主流學界的看法。
首先想一想，為什麼要給那位吊死在根號下的仁兄零分呢？想必你會回答：這位兄臺雖然情節感人，但恆等式應用錯誤，開根號後符號也不注意，基本沒有給分的點啊；沒有錯，那第二位呢？囉哩囉嗦，答非所問；也對，那優等生同學呢？優等生就不一樣了，每一行都答到了考點上，恆等式運用準確，推理清晰，結論還很有美感，滿分是當之無愧！
很好很好。
注意到了嗎？你所有的判斷都有一個共同的基礎，那就是答題同學的「話」（數學推理）是不是說得漂亮。言簡意賅、切中要害的拿了高分，而語無倫次、企圖矇混過關的也沒有討到好處。看來在不知不覺中你已經掌握到「數學是什麼？」這個問題的精髓所在了。
1.2 數學是一門語言藝術
數學，是一門語言，一種思考方式。只不過與我們日常生活中使用的語言不同，它是藉助演繹邏輯在少量公理、假設的基礎上發展出來的一套以研究抽象結構為主要目的的推理體系。數學中的對錯有著客觀的評價標準，它不由經驗左右，也無須實驗驗證，只由合乎邏輯的數學推理所決定。所以你不能僅憑一道語文試題說明什麼是語文，不能僅憑一道物理試題說明什麼是物理，卻能憑藉一道數學試題窺探數學的本質。數學的推理本質決定了它與其他學科有一個重要區別：一個數學結論不管看起來有多麼的荒謬，只要前提成立，推理正確，它在數學的王國裡就是無可辯駁的真理。
著名的「生日機率問題」就是這樣一個絕佳範例。
一場足球比賽的參賽隊員加上主裁判總共有23人，他們在同一天過生日的機率會有多大呢？初看這個問題，你可能覺得這件事情發生的機率低到可憐。畢竟一年有365天，總共卻只有23個人，把23個蘋果丟到365個不同盒子裡的組合實在是太多太多了，兩個蘋果撞到同一個盒子的機率自然很小。然而當你用嚴謹的數學思維去認真思考一下，就會發現結果與你想像的大不相同。
假設23個人的生日各不相同：第一個人總共有365種選擇；第二個人則變成了364種；第三個人363種……依此類推，第二十三個人的選擇有343種，所以所有人生日都不相同的機率是
而至少有兩人在同一天過生日的機率就為
結果可能令你大感意外，居然超過了50%！然而這一數字還將隨著人數的增加非常快速地逼近100%，如果有人和你打賭44位美國總統中是否有兩個人在同一天過生日，你一定不要猶豫，因為那機率已經超過了90%，幾乎是穩賺不賠。
事實上，如果你真有興趣去查閱一番資料，就會發現美國第十一任總統詹姆斯．諾克斯．波爾克（James Knox Polk）和第二十九任總統華倫．蓋瑪利爾．哈定（Warren Gamaliel Harding）的生日在同一天，都是11月2日。
數學研究就像一個個「生日機率問題」，自由生長而又與現實生活緊密相連。一方面它抽象嚴謹，自成一系；另一方面諸多解決實際問題的需求又不斷為它的發展提供目標和動力。數學沒有淪為數學家們發明創造的智力遊戲，很大一部分原因就在於它可以作為一套絕佳的工具，描述並幫助我們理解人類自身所處的繁華世界。
在愛因斯坦的廣義相對論之前，沒有多少人敢想像我們身處的時空是彎曲的。但在數學世界裡，彎曲的空間卻不是什麼祕密，數學家們早已經知道，在恰當的幾何體系（球面幾何）中，任意兩條直線必然相交。正是這種有悖於歐幾里得（Euclid）平面幾何的新結構，為大尺度物理理論的發展提供了牢固的框架。
即使回到我們更加熟悉的經濟領域，數學發揮的作用也大到不可忽視。1996年，美國政府組織任命的一個委員會舉行了一次祕密會議，會議修改了消費者物價指數（CPI）的一個計算公式。因為這一公式的修改，稅收、醫保、社保等與民眾生活水準息息相關的款項支出發生了變化，成千上萬的美國人受到了影響，然而公眾卻幾乎沒有討論過這個新公式所帶來的後果和影響(1)。
如果政策的制定者們不是出於善意，或者不完全了解他們所掌控數學工具的特性，公眾將會被動地捲入一場空前的災難。我並非危言聳聽，2008年在美國爆發並很快席捲全球的「次貸危機」，正是由於美國金融業的菁英們忽略了一個被廣泛用於計算資產相關性公式的先天局限性，導致對眾多「次級貸款」的風險定價大大偏低，最終引爆了整個市場。這一被稱為「摧毀華爾街的數學公式」叫做「高斯關聯結構函數（Gaussian copula function）」，有趣的是，它是中國人發明的(2)。
不管你願不願意，我們都必須承認，歷史上還沒有哪個時代像現在這樣，人們真實感受到的客觀時空被種類繁多的數學公式精準地控制著，你可以不必懂它，但你卻無論如何也離不開它了。
那麼請問，什麼是好的數學呢？
這又是一個令人為難的問題，因為「好」這個詞和困擾了人們千百年的「美」一樣，都非常地令人難以捉摸。就好像一千個觀眾的眼中就有一千個哈姆雷特，你一定要說那位吊死在根號下的同學的行為展現出了一種壯士斷腕的「悲壯之美」，我也拿你沒辦法。
但基本的取向還是應該有的。
演繹邏輯作為數學的核心，要求我們在判斷什麼是好的數學時必須把概念是否準確、推理是否嚴密、結論是否完備作為最基本的標準（雖然數學家們也時常把結論和推理過程的簡潔與美感看得很重要，但審美終究是一項較為主觀的工作，不應當成客觀的標準）。
按照這個標準，與數學打交道的人通常可以分為三類：第一類是不得其門而入的人；第二類是進得了門卻入不了室的人；第三類則是真正登堂入室、融會貫通之人。我們一開始挑選的三位同學在答題上的表現正好對應了這三類人。
也許有同學該抓狂了：完蛋啦，我肯定屬於第一類，別說數學的門了，學了十多年我連窗戶都還沒摸到……
在這裡，我想特別說明的是，上面的分類並不是一成不變的，而是隨著數學知識的增長和數學閱歷的豐富不斷進行轉換。如果你的數學暫時不好也不用過於灰心，一個少時資質平平，成績一般，差點被趕去務農的少年在大學的圖書館裡撿到幾本數學版《九陽真經》之後，完全有可能透過頓悟的方式跨入第三類，並最終成長為一代宗師，其中的代表人物：牛頓。而一個沒有經歷過系統的數學教育，憑藉堅韌不拔的意志，始終勤奮刻苦，一步一個腳印，也能成長為後人景仰的國之棟梁，代表人物：華羅庚。
所以，跟隨這本書，好好讀下去，來看看你和數學之間有沒有二見傾心的緣分。
既然數學是一套以公理化和演繹邏輯為核心的推理體系，而可以用數學來描述的對象又是如此的廣泛，因此很有必要把我們的研究對象抽象成形式上統一的概念和符號，不然你說你的，我說我的，大家根本不在同一個頻道上，如何一起玩耍並挖掘出一般規律呢？所以，這個形式上統一的概念和框架實在是太重要了，它堪稱現代數學的基石。
這塊現代數學的基石，名字叫做集合論，高中數學開篇就要學習它，足見它的重要地位。
說來也很有趣，數學作為一門嚴密的理論學科在古希臘時期就已經產生了，然而集合論在19世紀後期才建立。在數學的發展歷程中，這種前後顛倒的事情非但不孤立，還比比皆是，大家都先用盡全力玩命做，等到天塌了再想辦法補（汗……）。所以數學的發展並非你所想像的那樣循序漸進，而是有它獨特的「客觀」規律。
在我們的第一位補天大神出場之前，先來了解一下他的工作背景… 閱讀完整內容
